Con los cambios que se han hecho en los dns  y con estos datos (host, email y password) yo he mandado desde aquí correos a hotmail y gmail y me han llegado:

smtp.eu.mailgun.org
envios@agelso.com
ce600ef8f4a938e6177b0c63bd31de18-88b1ca9f-23873550

Puerto: 25, 587, 2525 y 465 (todos los típicos, aunque el más normal es el 25 y el 465 para conexión segura)

La versión gratuita de mailgun tiene un límite de 100 correos diarios, la versión básica son 15$ al menos con 10.000 emails al mes.

La versión gratis de Mailchip tiene un límite de 500/mes y 1.000/dia , la versión de pago básica son 13,24$ al mes pero no consigo aclararme cuantos emails permite eso.

Sobre todo Mailchip son sistemas para hacer mailings, enfocado a campañas, con plantillas, seguimientos, etc.

También está la opción de un servidor virtual pequeño, de menos de 5 euros al mes, a el que instalarle un servidor smtp, que es algo que yo ya he hecho varias veces. Un servidor smtp en nuestras propias instalaciones tiene el problema de que hay bases de datos de ips domésticas que muchos servicios de correo rechazan todo lo que venga de esas ips.